turunan fungsi

Aturan rantai digunakan untuk menentukan turunan fungsi komposisi. Misalnya kita akan mencari turunan dari $(x+2{)}^3$. Untuk menentukan turunan fungsi tersebut, kita bisa saja mengalikan $(x+2)$ terlebih dahulu sebanyak tiga kali. Sampai di sini, kegunaan aturan rantai belum begitu terasa. Akan tetapi, coba bayangkan jika fungsi yang akan dicari turunannya adalah $g(x)=(x+2{)}^{10}$. Sangat tidak efisien, jika kita kita menguraikannya terlebih dahulu. Risiko kesalahannya pun menjadi lebih besar.

Contoh di atas masih dapat diselesaikan tanpa menggunakan aturan rantai, meskipun akan memakan waktu yang cukup lama. Namun, terdapat fungsi-fungsi tertentu yang memang sulit atau bahkan tidak bisa dicari turunannya tanpa menggunakan aturan rantai. Salah satunya adalah fungsi $f(x)=\sqrt{2x^2+1}$.

Nah, melalui uraian di atas, kita pasti menyadari bahwa aturan rantai sangat membantu dalam menentukan turunan suatu fungsi. Selanjutnya, kita akan membahas lebih lanjut tentang aturan rantai, termasuk bagaimana penerapan aturan rantai dalam menentukan turunan fungsi.

Fungsi yang akan dicari turunannya dengan aturan rantai tidak mesti ditulis secara eksplisit sebagai komposisi dari beberapa fungsi. Jika dilihat secara langsung, $f(x)=x^2+4x+4$ bukanlah fungsi komposisi. Tetapi, fungsi ini dapat ditulis sebagai $f(x)=(x+2{)}^2$ yang merupakan komposisi dari fungsi $g(x)=x^2$ dan $h(x)=x+2$. Karenanya, turunan $f(x)$ ini dapat dicari dengan aturan rantai, meskipun lebih mudah jika dicari secara langsung. $f(x)=\sin \left(\cos 2x\right)$ juga merupakan fungsi komposisi. $f(x)$ dapat ditulis sebagai $\left(g\circ h\circ i\right)\left(x\right)$, dengan $g(x)=\sin x$, $h(x)=\cos x$, dan $i(x)=2x$.

ATURAN RANTAI

Misalkan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$. Jika $g$ terdiferensialkan pada $x$ dan $f$ terdiferensialkan pada $u=g(x)$, maka fungsi komposisi $f\circ g$ yang didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ terdiferensialkan pada $x$, dengan$$\begin{array}{r}{D}_x\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)\end{array}$$atau$$\begin{array}{r}\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\end{array}$$

Dari bentuk di atas, terlihat bahwa seakan-akan $du$ pada ruas kanan dapat dicoret, sehingga ruas kanan menjadi sama persis dengan ruas kiri. Meskipun, sebenarnya tidak seperti ini, tetapi hal ini dapat memudahkan kita dalam mengingat aturan rantai pada turunan. Berikut adalah beberapa contoh penerapan aturan rantai.

Contoh 1

Tentukan turunan pertama dari $f(x)=(2x+1{)}^{10}$.

Pertama, tulis fungsi di atas sebagai $y=(2x+1{)}^{10}$.Selanjutnya, kita misalkan $u=2x+1$, sehingga $y=u^{10}$. Tentukan turunan masing-masing fungsi.$$\begin{array}{rl}u& =2x+1⟹\frac{du}{dx}=2\\ y& =u^{10}⟹\frac{dy}{du}=10u^9\end{array}$$

Dengan aturan rantai, diperoleh$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\ & =10u^9\cdot 2\\ & =20u^9\\ & =20(2x+1{)}^9\end{array}$$Jadi, turunan pertama $f(x)$ adalah $f^{\prime }(x)=20(2x+1{)}^9$.

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari $y=\sin 7x$.

Pertama, kita misalkan $u=7x$, sehingga $y=\sin u$. Tentukan turunan kedua fungsi di atas.$$\begin{array}{rl}u& =7x⟹\frac{du}{dx}=7\\ y& =\sin u⟹\frac{dy}{du}=\cos u\end{array}$$

Dengan menggunakan aturan rantai, diperoleh$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\ & =\left(\cos u\right)\cdot 7\\ & =7\cos u\\ & =7\cos 7x\end{array}$$Jadi, turunan pertama dari $y=\sin 7x$ adalah $y^{\prime }=7\cos 7x$.

Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari $y={\sin }^{3}2x$.

Fungsi di atas merupakan komposisi dari tiga buah fungsi. Tulis $y={\left(\sin 2x\right)}^3$. Misalkan $u=2x$, $v=\sin u$, dan $y=v^3$. Untuk pemisalan, kita mulai dari fungsi yang letaknya lebih dalam, diikuti oleh fungsi-fungsi yang berada di luarnya. Selanjutnya, kita tentukan turunan fungsi-fungsi tersebut.$$\begin{array}{rl}u& =2x⟹\frac{du}{dx}=2\\ v& =\sin u⟹\frac{dv}{du}=\cos u\\ y& =v^3⟹\frac{dy}{dv}=3v^2\end{array}$$

Selanjutnya, kita gunakan aturan rantai.$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}\\ & =3v^2\cdot \left(\cos u\right)\cdot 2\\ & =6v^2\cos u\end{array}$$

Turunan fungsi di atas masih memuat variabel $u$ dan $v$. Ingat bahwa $u=2x$ dan $v=\sin u=\sin 2x$. Akibatnya$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =6v^2\cos u\\ & =6\cdot {\left(\sin 2x\right)}^2\cdot \cos 2x\\ & =6\cdot {\sin }^{2}2x\cdot \cos 2x\end{array}$$Jadi, turunan pertama dari $y={\sin }^{3}2x$ adalah $y^{\prime }=6\cdot {\sin }^{2}2x\cdot \cos 2x$.